如何做到既内切又外接作者|刘洋洲来源|转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！问：小圆含在大圆内，是否存在一个三角形，大圆是它的外接圆，小圆是它的内切圆？大圆和小圆需要满足哪些条件，才存在这样的三角。
内切圆弧连接方法?作者 | 刘洋洲来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢，下面我们就来说一说关于内切圆弧连接方法?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!
内切圆弧连接方法
作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！
问：小圆含在大圆内，是否存在一个三角形，大圆是它的外接圆，小圆是它的内切圆？大圆和小圆需要满足哪些条件，才存在这样的三角形？或者，什么情况下这样的三角形不存在？
我们约定，将满足该条件的三角形称为「恰当三角形」。
案：我们通常情况下是已知三角形，求外接圆和内切圆，而这个问题刚好相反。如果粗暴地使用解析几何直接联立方程去求解，所涉及的未知数太多，计算量将十分恐怖，所以我们需要借助一些几何知识帮助我们去化繁为简。
解：关键方程
我首先注意到一个等式：分别利用外接圆、内切圆半径和计算恰当三角形面积。设满足条件的三角形三边记为，其周长记为，于是有
其中表示对三角形三边求和，表示外接圆圆心到边的「有向距离」。什么是有向？观察下图，我们发现当为钝角三角形时，有一条会完全在三角形区域外，此时我们规定它的符号为负，于是如上公式仍然成立。
我们对上面的公式进行变形
我们将这个方程称为「关键方程」，注意到事实上就是外接圆的弦心距，它给出了弦心距和内切圆半径之间需要满足的关系。
分析
通过分析关键方程，我们可以得到简单的结论：
❝「定理1」除非，否则必存在
.❞
「证：」是三角形三边边长，即非负。显然，是关键方程的特解，此时恰当三角形为等边三角形。因等边三角形三线合一，所以大圆和小圆是同心圆，此时退化为特殊情况。
除以上特殊情况，关键方程想要成立，其三个系数
必存在异号。
为接下来方便讨论，我们不妨设。
注意是可能的。也许读者会对前文的“有向距离”的规定有些奇怪，我们这里给出简单的几何解释：事实上是外接圆的弦长所对应的弦心距，我们可以这样定义：
其中表示弦长所对应的圆心角，且，这样一来，就可以理解为什么可以取负值了。
弦心距
所以我们接下来需要将注意力集中在上。
的计算本身是没有难度的，利用勾股定理可以直接计算出来：
但是这个结论并不能带给我们更多信息，这个时候才轮到解析几何出手了。
建系如下图：
设内切圆圆心坐标，，过内切圆上一点的切线是三角形可能的（未必能构成三角形）边长所在直线，下面我们列出方程计算一下。
第二个方程是圆上一点的切线公式。接着我们利用点到直线的距离公式
计算弦心距，恰好我们将外接圆的圆心设为原点。
于是
其中是给定向量，而是定长向量。可见是否比大取决于两个向量的夹角：
❝「定理2」当和夹角是锐角时，； 当两者夹角是钝角时，； 当两者夹角是直角时，. 即，
❞
❝「推论」当和共线时，恰当三角形为等腰三角形。
❞
「证：」如上图。若与共线，于是三点共线。由垂径定理立即可知，所在的直线垂直平分弦与切点，最后利用切线长定理等量传递，立即可知恰当三角形另外两边相等。
有趣的是，当恰当三角形是等腰的情况下，其底边达到了最值，从公式看这是显然的，
代入得，
最后我们将与的关系带入，即可得到如下估计：
❝恰当三角形什么时候存在？「定理3」
❞
通过观察上图，我们发现一旦恰当三角形存在，则在内切圆上任意一点做切线，都可以得到新的恰当三角形。我们暂时不加证明地利用这一性质，从而考虑特殊位置，最后得到恰当三角形存在充要条件。
建系如下图：
因，可得点的坐标为。容易求切点所在的弦：
于是得到弦端点的坐标为。如果另外两条分别过的切线交点，刚好落在外接圆上，则为恰当三角形，由此我们可以得到恰当三角形存在的充要条件。那么如何判定是否落在外接圆上呢？
下图是判定思路：如果点，直线是否与小圆相切，通过联立两者方程，求判别式是否等于即可。
容易求斜率为（此时），
联立方程
代入得
得到判别式
❝「定理4」恰当三角形存在的充要条件为：
❞
我们可以验证一下特殊情况。例如当小圆位于大圆中心时，此时有，代入方程：
解得，即恰当三角形为等边三角形的情形。
关于恰当三角形的内容还有很多，敬请期待下一期的内容。
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