例题：如图，△ABC内接正方形DEFG，△AGF、△FEC、△BDG的面积分别是1、1、3，则正方形DEFG的边长为分析：按照常规思路，把正方形边长设为x，利用△AGF∽△ABC，高之比等于边长之比，构建关于x的方程解出x的值。题目中，△AGF的面积=△EFC的面积，GF=EF，可以得到△AGF中GF边上的高等于EC=2/x。那就可以利用△AGF∽△ABC，高之比等于GF与BC之比，构建关于x的方程求解。
初中几何中，三角形内接四边形是经常考到的题型，一般是内接平行四边形、矩形、正方形等，常规思路是把要求的边长x设出来，利用相似三角形，构造关于x的方程，从而求出x的值。
例题：
如图，△ABC内接正方形DEFG，△AGF、△FEC、△BDG的面积分别是1、1、3，则正方形DEFG的边长为
（视频讲解在文末）
分析：按照常规思路，把正方形边长设为x，利用△AGF∽△ABC，高之比等于边长之比，构建关于x的方程解出x的值。
所以，
GF=x
BD=6/x
DE=x
EC=2/x
现在已经得到GF和BC的长，还需要另外一组对应边或者对应高之比。
题目中，△AGF的面积=△EFC的面积，GF=EF，可以得到△AGF中GF边上的高等于EC=2/x 。
那就可以利用△AGF∽△ABC，高之比等于GF与BC之比，构建关于x的方程求解。
现在讲解一下秒杀方法，对于三角形内接平行四边形问题，平行线分割成的三部分面积有一个等量关系。
感兴趣的同学思考下如何证明！
（提示：相似三角形面积之比等于相似比的平方）
这个题就可以采用上面介绍的方法秒杀。
过点G做GH平行AC，交BC边于点H
易证△GDH≌△FEC，
则△BGH的面积为1 3=4
平行四边形GHCF的面积=2×√(1×4)=4
正方形GDEF的面积=平行四边形GHCF的面积=4
所以正方形边长为2
视频讲解：初中数学一道三角形内接正方形的常规解法和秒杀方法讲解
