作者|大小吴来源|大小吴的数学课堂学过高等数学的你是否还记得这两个式子这里给出的是三角函数和的导数，今天大小吴就和大家来聊聊如何直观地理解它们。3直观地理解三角函数的导数通过上述计算我们同样也可以得到的导数，但是你一定不想再来一遍了——因为整个过程略显繁琐与复杂。
作者 | 大小吴
来源 | 大小吴的数学课堂
学过高等数学的你是否还记得这两个式子
这里给出的是三角函数和的导数，今天大小吴就和大家来聊聊如何直观地理解它们。
1 导数我们知道，在微积分中导数是一个非常重要的概念，即函数的自变量在一点上产生一个增量时，函数值的增量与的比值在趋于0时的极限，记为
由上图也可以知道，当点无限趋近于点时，导数的几何意义便是函数所代表的曲线在点上的切线斜率。
2 计算三角函数的导数通过导数的定义我们可以计算三角函数和的导数（以为例）：
根据两角和的正弦公式
代入以上极限，得到
由极限（证明略）
得到
即
这样我们就得到了的导数。
3 直观地理解三角函数的导数通过上述计算我们同样也可以得到的导数，但是你一定不想再来一遍了——因为整个过程略显繁琐与复杂。
那就让我们换一个角度——通过几何直观来看看到底什么是和的导数。
现在我们构造一个直角三角形，使其斜边长：
设其中一个锐角为，则两条直角边分别为、.
别忘了，现在我们要求的是和的导数，回忆一下导数的定义是什么，求导数需要什么？
是的，我们需要微小的增量！然后再看看和会发生什么变化。
对于角度，如果有一个微小的增量，会发生什么？想象一下（如果你想好了，就可以滑动图片查看）
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在研究函数曲线的导数时，我们可以将某一部分进行“无限放大”，从而达到“以直代曲”的目的。
同样地，在这里我们也可以对直角三角形进行无限放大，看看会发生什么（这里也可以想象一下，然后看看是否和你想得一样）。
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如果增加的角度无限趋近于0（这时记为无穷小量），则不难想象直角三角形的新的斜边与原来的斜边是无限接近平行的，如果我们在无限放大的地方再构造一个直角三角形，会得到如下图形：
我们发现，无限放大处的直角三角形和原来的直角三角形是相似的！又由于原直角三角形斜边长为1，因此我们可以认为放大处的直角三角形斜边即为，则两条直角边即为和.
因此，对于原来的直角边来说，其增量是，对于原来的直角边来说，其增量是.
因此，根据导数的定义，得到
参考文献
[1]（美）阿德里安·班纳.普林斯顿微积分读本（修订版）[M].杨爽等译.人民邮电出版社，2020.[2]（美）杰森·威尔克斯.烧掉数学书[M].唐璐译.湖南科学技术出版社，2020.
