正切函数图像和性质（知识扫盲正切函数的图象）

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正切函数的图象

8等分法作正切曲线

01

将单位圆（-π/2，π/2）间的半圆弧8等分，同时将x轴上的区间（-π/2，π/2）作8等分，将角x对应的正切线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再把这些互切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到正切函数在（-π/2，π/2）上的图象，最后根据正切函数的周期性，把所得到的图象向左、右平移π 的整数倍，就得到y=tanx的图象，我们把它叫做正切曲线.

拓 展

（1）不用等分法，直接动态展示由正切线生成正切曲线的过程如下（观察白线）：

正切线生成正切曲线

（2）同样地，生成正弦曲线（观察蓝线）、余弦曲线（观察红线）对应的过程分别如下：

正弦线到正弦曲线

余弦线到余弦曲线

“三点两线法”快速画正切函数的简图

02

先画出直线x=±π/2作为正切函数图象的渐近线，然后根据三个特殊点（-π/4，-1），（0，0），（π/4，1）及对正切函数图象的认识画出草图，最后，由周期性画出整个正切函数图象的草图.

动图如下：

三点两线画正切

敲黑板！看重点！

（1）正切函数在(-π/2 kπ，π/2 kπ)（k∈Z）上递 增 ，不能写成闭区间；

（2）正切函数没有单调 减 区间.

正切曲线是被相互 平行 的直线x=π/2 kπ，k∈Z（称为渐近线）所隔开的无穷多支曲线组成的，即正切函数有 无数 多条渐近线，渐近线方程为x=π/2 kπ，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一条正切曲线，且单调递增.

正切函数与正弦函数的异同点

【示范例题】

例题1.(解析题)观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围.

tan x>0;tanx=0;tanx<0

【答案】见解析

【解析】使用“三点两线法”快速画出y=tanx，-π/2<x<π/2的简图，观察图象可得，当0<x<π/2时，tanx>0，故所求的的取值范围为(kπ，kπ π/2），k∈Z.

同理可得tanx=0的x的取值范围为﹛x|x=kπ,k∈Z﹜；

tanx<0的x的取值范围为(kπ-π/2，kπ），k∈Z.

【破题】先用“三点两线法”快速画出正切函数的简图，再利用图象解决问题.

内容摘自：包学习APP_动态教辅《正切函数的性质与图象（高中数学必修四1.4.3）》，欢迎下载学习更多知识

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