数学分析第五讲第五讲函数的概念定义1D与M是R中的非空数集，若有对应法则f，使D内的每一个数X，都有唯一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在D上的函数，记作f:D->m,x->yD称为f的定义域；f。
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数学分析中数列与函数的区分
第五讲 函数的概念
定义1
D与M是R中的非空数集，若有对应法则f，使D内的每一个数X，都有唯一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在D上的函数，记作 f : D->m, x->y
D称为f的定义域；f（D）={y|y=f（x），x∈D}称为f的值域；G={（x，y）|y=f（x），x∈D}称为f的图像。
注1 函数有定义域D和对应法则f二要素完全决定，因此若给出函数的定义域和对应法则，就确定了函数，它与自变量和因变量的符号无关。
注2 表示函数有多种方法，常见的有：解析法、数值法和图像法。
解析法表示函数时，若没有特别指明其定义域，则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体，即存在域。
函数的四则运算
设函数f的定义域为Df，函数g的定义域为Dg：
1.f±g的定义域为Df±g=Df ∩ Dg，且∀x∈Df ∩ Dg，（f±g)(x）=f(x)±g(x);
2.f*g的定义域为Df*g=Df ∩ Dg，且∀x∈Df ∩ Dg，（f*g)(x）=f(x)*g(x);
3.f/g的定义域为Df/g=Df ∩ D*，其中D*={x|x∈Dg，且g（x）不等于0}，且∀x∈Df/g，（f/g)(x）=f(x)/g(x);
复合函数
设函数f的定义域为Df，函数g的定义域为Dg：
复合函数f。g的定义域为Df。g={x|x∈Dg，且g(x)∈Df}，则∀x∈Df。g，f。g(x)=f(g(x)）;
g（x）为内函数，f（x）为外函数
反函数
若函数f的定义域为Df，满足：∀y∈f（D），∃唯一x∈D，使f（x）=y，
则存在函数f-¹，Df-¹=f（D），且∀y∈f（D），f-¹（y）=x，其中x是使f（x）=y的唯一的c∈D。
注 反函数表示式f-¹（y）=x中，y是自变量，x是因变量。由于函数与自变量、因变量的记号无关，因此一般反函数f-¹记为y=f-¹（x）。
反函数与原函数图像关于y=x对称
初等函数
定义1
以下六类函数称为基本初等函数：
（1）常量函数 y=c（c为常数）；
（2）幂函数y=x^a（a为实数）；
（3）指数函数 y=a^x（a>0,a不等于1）；
（4）对数函数 y=loga x（a>0,a不等于1）；
（5）三角函数 y=sin x，y=cos x，y=tan x，y=cot x；
（6）反三角函数 y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x，y=arccot x；
定义2
定义3
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的的函数，称为初等函数。
狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数。
