微积分发展史8:导数的概念显然，我们在曲线的一点上定义了切线，那么在平滑曲线的其它点上也能定义切线因为每条切线都有一个斜率，所以，曲线上的任何一点都有一个斜率值跟它对应两个量之间存在一种对应关系，这是什么？这就是函数啊函数y=。
显然，我们在曲线的一点上定义了切线，那么在平滑曲线的其它点上也能定义切线。因为每条切线都有一个斜率，所以，曲线上的任何一点都有一个斜率值跟它对应。两个量之间存在一种对应关系，这是什么？这就是函数啊。
函数y=f(x)不就是告诉我们：给定一个x，就有一个y跟它对应么？现在我们是给定一个点（假设横坐标为x），就有一个斜率dy/dx跟它对应。显然，这也是个函数，这个函数就叫导函数，简称导数。
在中学的时候，我们通常在函数f(x)的右上角加上一撇表示这个函数的导数，那么现在这两种情况就都表示导数：
所以，导数f’(x)就可以表示横坐标为x的地方对应切线的斜率，它表示曲线在这一点上的倾斜程度。如果导数f’(x)的值比较大，曲线就比较陡，f’(x)比较小，曲线就比较平缓。于是，我们就可以用导数来描述曲线的倾斜程度了。
这还是我们前面说的抛物线，它的函数图像是这样的：
求函数的导数，就是求函数在每一点切线的斜率，而切线就是曲线上两个相距无穷小的点确定的直线。
那就好说了，我们假设曲线上有一个横坐标为x的点，那么，跟它距离无穷小的点的横坐标就是x dx，由于这个点也在曲线f(x)=x²上，所以它的纵坐标就是(x dx)²，即：
然后，我们用这两个点的纵坐标之差f(x dx)-f(x)除以横坐标之差(x dx)-x就能算出x点的切线斜率。因为这个x是任意取的，所以得到的结果就是任意点的切线斜率，那么这就是导数了：
到这一步都很简单，接下来就有问题了：这上面和下面的dx到底能不能约掉？
我们知道，除数是不能为0的，如果你想分子分母同时除以一个数，就必须保证这个数不是0。现在我们是想除以dx，这个dx就是我们前面定义的无穷小量，它无限接近于0却又不等于0。
所以，似乎我们姑且把它当作一个非零的量直接给约掉，那么导数上下同时除以dx就成了这样：
这个式子看起来简洁了一些，但是后面还是拖了一个小尾巴dx。
2x是一个有限的数，一个有限的数加上一个无穷小量，结果是多少？似乎还是应该等于这个具体的数。比如，100加上一个无穷小，结果应该还是100，因为如果等于100.00…0001那就不对了，无穷小肯定比你所有能给出的数还小啊，那么也肯定必须比0.00…001还小。
所以，我们似乎又有充足的理由把2x后面的这个dx也给去掉，就像丢掉一个等于0的数一样，这样最终的导数就可以简单地写成这样：
大家看这个导数，当x越来越大（x>0）的时候，f(x)’的值也是越来越大的。而导数是用来表示函数的倾斜程度的，也就是说，当x越来越大的时候，曲线就越来越陡，这跟图像完全一致。
所以，我们通过约掉一个（非零的）dx，再丢掉一个（等于零的）dx得到的导数f(x)’=2x竟然是正确的。
但是这逻辑上就很奇怪了：一个无限趋近于0的无穷小量dx到底是不是0？如果是0，那么为什么可以让分子分母同时除以它来约分；如果不是0，那又为什么可以把它随意舍弃？
总不能同时等于零又不等于零吧？你又不是薛定谔家的无穷小量。
数学不是变戏法，怎么能这么随意呢？于是，这个无穷小量就又招来了一堆批判。为什么说“又”呢？因为我在前面讲积分的时候就说了一次，在这里就体现得更明显了，眼见第二次数学危机大兵压境~
