的等腰三角形腰和底的关系的应用结论：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，则BC=AB=AC图1应用：例1、（2020年梁子湖模拟试题）如图2，平行四边形ABCD中，DB=AB，∠ABD=30º，将平行四边形ABC。
结论：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
则BC=AB=AC。
图1
应用：
例1、（2020年梁子湖模拟试题）如图2，平行四边形ABCD中，DB=AB，∠ABD=30º，将平行四边形ABCD绕点A旋转至平行四边形AMNE的位置，使点E落在BD上，ME交AB于点O，则的值是（）
A. B.
C.D.
图2
分析：∵DB=AB，∠ABD=30º
∴∠ADB=75º
由旋转知，AD=AE
∴∠DAE=180º-75º-75º=30º
即旋转角为30º
∴∠OAM=30º
又∵∠AME=∠ABD=30º
∴∠A0M=120º
设A0=1，则AM=
∴AB=，BO=
∴
故选择（B）
例2、如图3，在△ABC中，AC=
2，∠ABC=45º，∠BAC
=15º，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD。过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）
A. B. 3 C. D.4
图3
分析：如图3，
∵∠ABC=45º，∠BAC=15º
∴∠ACB=120º
由折叠知，
∠ACD=120º，∠DAC=15º
∴∠DAE=∠DAC=15º
∴∠CAE=30º
∴△ACE是顶角为120º的等腰三角形
∴AC=CE，AE==
∵BC=BC
∠BCE=∠BCA=120º
∴△BCE≌△BCA
∴△ABE是等腰直角三角形
∴AE=BE
∴BE=
故选择（C）
例3、（2019年自贡中考数学试题）如图4，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α β)= ▲
分析：如图5，连接DE，则∠EDC=∠α=30º，∴△ECD是顶角为120º的等腰三角形，△ADE是Rt△，设AB=1
∴AE=2，DE=，AD=
∴cos(α β)=
例4、（2019年梧州中考数学试题）如图6，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60º，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转后，得到菱形AEFG。点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是 ▲
图6
分析：由菱形性质知，△ADC是顶角为120º的等腰三角形，△PCE是含30º角的直角三角形∴AC==
EC=AC-AE=
∴PE=
PC=PE=
∴DP=
例5、（2017年安徽中考数学试题）在三角形纸片ABC中，∠A=90º，∠C=30º，AC=30cm.将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图7），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图8），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形.则所得平行四边形的周长为▲ cm.
分析：①如图9，取BD的中点F，连接EF，则所得的四边形是平行四边形，且是菱形。因为AC=30cm，∠C=30º，所以AD=DE=10cm，故所得平行四边形的周长为40cm。
②如图10，作BD的垂直平分线交BE于N，连接DN，则所得四边形是平行四边形，且是菱形，而△BDN是顶角为120º的等腰三角形，所以BD=DN，则DN=，故所得平行四边形的周长为。
