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三角形的内切圆与三角形面积(三角形三边与外接圆R和三角形面积的关系)

时间:2023-06-17 作者: 小编 阅读量: 1 栏目名: 生活百科

三角形三边与外接圆R的关系若S是三角形ABC的面积,三角形的外接圆半径为R,三边长分别是a,b,c,证明4RS=abc证明:如图,让AD经过圆心,成为直径,连接BD,做高AH,由于在直角三角形ABD和直角三角形AHC中有:∠ADB=∠ACH,因此有△ADB与△ACH相似,所以有比例关系:AH/AC=AB/AD即2R·AH=AC·AB,两边同时乘以BC,2R·AH·BC=AC·AB·BC,而AH·BC=2S,所以:4RS=abc

三角形三边与外接圆R的关系

若S是三角形ABC的面积,三角形的外接圆半径为R, 三边长分别是a, b, c, 证明

4RS=abc

证明:如图,让AD经过圆心,成为直径,连接BD,做高AH,

由于在直角三角形ABD和直角三角形AHC中有:

∠ADB=∠ACH,(都对应相同的弧AB)因此有

△ADB与△ACH相似,

所以有比例关系:

AH/AC=AB/AD

即2R·AH=AC·AB,

两边同时乘以BC,

2R·AH·BC=AC·AB·BC, 而AH·BC=2S, 所以:

4RS=abc

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