抛物线上的线段长问题的转化与探究专题导入导图：平面直角标中相应线段长的计算AM=,BM=,AB=,导例：如图，点A的坐标为（﹣1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB∥x轴，且CA＝CB．若抛物线y＝a（x﹣1）2k经过。
专题导入
导图：平面直角标中相应线段长的计算
AM= , BM= ,AB= ,
导例：如图，点A的坐标为（﹣1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB∥
x
轴，且CA＝CB．若抛物线y＝a（x﹣1）2 k经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式
为．
方法点睛
二次函数图象上的线段长问题，往往涉及到以下三类：平行x轴或y轴的线段长，或一般的斜线类线段．在知识运过程中，相应坐标差来表示相应线段长，或由勾股定理依据两点间的距离公式来计算相应斜线段长的问题是基本的操作依据．
导图答案：，,.
导例答案：y＝﹣（x﹣1）2.
典例精讲
类型一：平行于y轴的线段长的问题
例1．如图，抛物线y＝x2 bx c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．
【分析】（1）由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题．
类型二：可转化为线段长类的面积型问题
例2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m 1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且
满足x12 x22﹣x1x2＝13．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由根与系数的关系可得x1 x2＝m，x1•x2＝﹣（m 1），代入x12 x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在
y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；
（2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x 3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组求解即可得出点Q的坐标．
专题过关
1．如图，已知二次函数y＝ax2 bx c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段B
C交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
2．如图，抛物线y=-x2 bx c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求b，c的值；
(2)如图①，直线y=kx 1(k>0)与抛物线在第一象限的部分
交于点D，交y轴于点F，交线段BC于点E．求的最大值；
(3)如图②，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．问:在直线BC下方
的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由．
3．如图1，抛物线y=ax2 bx 2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4．矩形OADC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线EO 上方抛物线上的一个动点，作PH⊥EO，垂足为H，求PH的最大值；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若四边形ACMN是平行四边形，求点M、N的坐标．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣6，0），B（0，﹣8）两点．
（1）请求出直线AB的函数解
析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知抛物线y＝﹣x2 bx与x轴交于点A，抛物线的对称轴经过点C（2，﹣2），顶点为
M．
（1）求b的值及直线AC的解析式；
（2）P是抛物线在x轴上方的一个动点，过P的直线y＝﹣x m与直线AC交于点D，与直线MC交于点E，连接MD，MP．
①当m为何值时，MP⊥PD？
②DE DP的最大值是多少（直接写出结果）：
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 bx 3（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；
（2）如图1，直线x=2与x轴交于点N，与直线AD交于点G，点P是直线x=2上的一动点，当点P到直线AD的距离
等于点P到x轴的距离时，求点P的坐标；
（3）如图2，直线y=﹣x m经过点A，交y轴于点C，在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA=2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
例1．（1）将点B（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝x2 bx c中，
得：解得∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x 3．
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m 3），设直线BC的解析式为y＝kx 3，
把点B（3，0）代入y＝kx 3中，得0＝3k 3，解得k＝﹣1．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x 3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m 3）．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x 3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x＝2．
∴点（1，0）在抛物线的图象上．∴1＜m＜3．
∵线段MN＝﹣m 3﹣（m2﹣4m 3）＝﹣m2 3m＝﹣（m﹣）2 ，
∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．
例2．（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m 1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1 x2＝m，x1•x2＝﹣（m 1）．
∵x12 x22﹣x1x2＝13，∴（x1 x2）2﹣3x1x2＝13．
∴m2 3（m 1）＝13，即m2 3m﹣10＝0．解得m1＝2，m2＝﹣5．
∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧．∴m＝2．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．
∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC．∴AF＝2OA＝2．∴F（1，0）．
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．
∵AC∥FQ，∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x b．
将F（1，0）代入，得0＝﹣3 b，解得b＝3．∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x 3．
联立，解得
∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．
专题过关
1．（1）将A，B，C代入函数解析式，得
解得这个二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设BC的解析式为y＝kx b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得解得∴
BC的解析式为y＝x﹣3．
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）．
∴PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2 3n＝﹣（n﹣）2 ．
当n＝时，PM最大＝；
②当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3，∴∠ABC＝45°．
∵PH⊥AB，∴∠BMH＝∠CMP＝45°．
当PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，∴CP∥x轴．
设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝n．∴MP＝﹣n2 3n．∴n＝﹣n2 3n．
解得n＝0（舍去）或n＝2．∴P（2，﹣3）．
当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2 3n，＝﹣n2 3n．
∵n＞0，∴n＝﹣n2 2n．解得n＝3﹣．∴P（3﹣，2﹣4）．
综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．
2．(1)将A(-1，0)，B(3，0)代入抛物线解析式中，得解得
(2)作DN∥CF，交CB于点N，如图①所示．
∵DN∥CF，∴△DEN∽△FEC，∴=．
∵抛物线的解析式为y=-x2 2x 3，
∴点C的坐标为(0，3) ．∴直线BC的解析式为y=-x 3．
令直线y=kx 1中x=0，则y=1，即点F的坐标为(0，1) ．
设点D的坐标为(m，-m2 2m 3)，则点N的
坐标为(m，-m 3) ．
∴DN=-m2 3m，CF=3-1=2．∴==．
∵DN=-m2 3m=-(m-)2 的最大值为，∴的最大值为．
(3)假设存在符合题意的点Q，理由如下：
∵抛物线的解析式为y=-x2 2x
3=-(x-1)2 4，
∴点P的坐标为(1，4)，直线PM的解析式为x=1．
∵直线BC的解析式为y=-x 3，∴点M的坐标为(1
，2) ．
设PM与x轴交于点G，过点G作直线BC的平行线，如图②所示．
∵点G的坐标为(1，0)，∴PM=GM=2．
易知过点G与BC平行的直线为y=-x 1．
联立直线与抛物线解析式得
解得或
∵平行线间距离处处相等，且点M为线段PG的中点，
∴点Q到直线BC的距离与点P到直线BC的距离相等．
故在直线BC下方的抛物线上存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等，点Q的坐标为
，-
或
，-
．
3．（1）∵矩形OADC的边CD=1，∴OA=1．而AB=4，∴OB=3．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
抛物线的解析式为y=a（x 1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣3a=2，解得a=﹣．∴抛物线解析式为y=﹣x2 x 2；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，当x=0时，y=﹣x2 x 2=2，则C（0，2）．
∵EC∥x轴，∴点E与点C关于直线x=1对称．∴E（2，2）．
∵OC=CE，∴△OCE为等腰直角三角形．∴∠COE=45°．
作PQ∥y轴交直线OE于Q，如图1，∴∠PGH=45°．
∵PH⊥OE，∴△PQH为等腰直角三角形．∴PH=PQ．
易得直线OE的解析式为y=x．
设P（x，﹣x2 x 2），则Q（x，x）．
∴PQ═﹣x2 x 2﹣x=﹣x2x 2．
∴PH=（﹣x2 x 2）=﹣x2 x =﹣（x﹣）2 ．
当x=时，PH的值最大，最大值为；
（3）∵四边形ACMN是平行四边形，
∴点A向右平移2个单位可得到N点，
∴点C向右平移2个单位可得到M点，则M点的横坐标为2，
当x=2时，y=﹣x2 x 2=2，则M（2，2）．
∴CM∥x轴，∴点N为对称轴与x轴的交点．∴N（1，0）．
4．（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx b（k≠0），
∵直线AB经过A（﹣6，0），B（0，﹣8），
∴由此可得解得，∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x﹣8．
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB===10，
∵⊙M经过O，A，B三点，且∠AOB＝90°，
∴AB为⊙M的直径．∴半径MA＝5．
设抛物线的对称轴交x轴于点N．∵MN⊥x，∴由垂径定理，得AN＝ON＝OA＝3．
在Rt△AMN中，MN===4．
∴CN＝MC﹣MN＝5﹣4＝1．∴顶点C的坐标为（﹣3，1）．
设抛物线的解析式为y＝a（x 3）2 1，代入x＝0，y＝﹣8，
得﹣8＝a（0 3）2 1，解得a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x 3）2 1＝﹣x2﹣6x﹣8．
（3）如图，连接AC，BC．
S△ABC＝S△AMC S△BMC＝•MC•AN MC•ON＝×5×3 ×5×3＝15．
在抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣8中，设y＝0，则﹣x2﹣6x﹣8＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣4．
∴D，E的坐标分别是（﹣4，0），（﹣2，0），∴DE＝2．
设在抛物线上存在点P（x，y），使得S△PDE＝S△ABC＝×15＝1，
则S△PDE＝•DE•|y|＝×2×|y|＝1，∴y＝±1．
当y＝1时，﹣x2﹣6x﹣8＝1，解得x1＝x2＝﹣3，∴P1（﹣3，1）；
当y＝﹣1时，﹣x2﹣6x﹣8＝﹣1，解得x1＝﹣3 ，x2＝﹣3﹣，
∴P2（﹣3 ，﹣1），P3（﹣3﹣，﹣1）．
综上所述，这样的P点存在，
且有三个，P1（﹣3，1），P2（﹣3 ，﹣1），P3（﹣3﹣，﹣1）．
5．（1）由题意得：抛物线y＝﹣x2 bx的对称轴为直线x＝2，
∴＝2．∴b＝4．∴抛物线解析式为y＝﹣x2 4x．∴A（4，0）．
∵C（2，﹣2），∴直线AC解析式为y＝x﹣4．
（2）①由题意得，MP⊥PD．∵PD⊥AD，MP⊥PD，
∴MP∥AD．
∴直线MP解析式为y＝x 2．
联立方程组，或
解得P（1，3）．∵3＝﹣1 m，∴m＝4；
②如图所示，过点C作x轴的平行线，交直线PD于点H，作PG⊥CH于点G，
∵∠HCD＝∠ECD
＝45°，CD＝CD，∠CDH＝∠CDE＝90°，
∴△CDH≌△CDE（ASA）．∴DE＝DH．则DE DP＝DH DP＝PH．
又∵Rt△PGH中，PH＝PG，∴当PG取得最大值时，DE DP取得最大值．
∵M（2，4），C（2，﹣2），∴当点P与点M重合时，PG取得最大值，最大值为4﹣（﹣2）＝6，则DE DP的最大值为6．
6．（1）当x=0时，y=ax2 bx 3=3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x 1）（x﹣3）．
把（0，3）代入得﹣3a=3，解得a=﹣1．
所以抛物线解析式为y=﹣（x 1）（x﹣3），即y=﹣x2 2x 3=﹣（x﹣1）2 4，则D（1，4）；
（2）如图1，过P作PH⊥AD于点H，．
设直线AD的解析式为y=kx p，把A（﹣1，
0），D（1，4）代入得，
解得∴直线AD的解析式为y=2x 2．
当x=2时，y=2x
2=6，则G（2，6）．
设P（2，t），则PN=PH=|t|，GP=6﹣t．
在Rt△ANG中，AN=3，GN=6，
∴AG==3．∵∠PGH=∠AGN，∴Rt△GPH∽Rt△GAN∴
∴=：，即=解得t1=，t2=．
∴P点坐标为（2，，）或（2，）；
（3）存在，理由如下：
把A（﹣1，0）代入y=﹣x m得1 m=0，解得m=1．
∵直线AC的解析式为y=﹣x﹣1，
过点D作DE∥AC，交y轴于点E，如图2，
设直线DE的解析式为y=﹣x n．把D（1，4）代入，得﹣1 n=4，解得n=5．
∴直线DE的解析式为y=﹣x 5．
当x=0时，y=﹣x 5=5，则E（0，5）．
∴EC的中点F的坐标为（0，2）．
过点F作AC的平行线交抛物线于M，如图2，则点M到直线AC的距离等于点D到AC的距离的一半，∴S△CDA=2S△ACM．
设直线FM的解析式为y=﹣x q．
把
F（0，2）代入得q=2，∴直线FM的解析式为y=﹣x 2，解方程组
得或∴满足条件的M点的坐标为（，）．
