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不等式的性质与解法知识回顾(不等式的概念性质以及解法)

时间:2023-05-29 作者: 小编 阅读量: 5 栏目名: 生活百科

@分析法——放缩法:从需证的不等式出发,寻找这个不等式成立的充分条件,逐步转化到已知条件或者明显的事实。同时欢迎大家评论区发表自己的见解,一切都是为了孩子的学习。

不等式是方程问题的延展,也可看做函数的进一步应用,不等式,方程,函数三位一体,掌握它你会发现世界真奇妙,什么问题都可以联想到她,一些知识的深层次应用就是这麽联想出来的。不信,你尝试尝试。

不等式知识框架

1、不等式与不等关系:

由此延伸出实数大小的比较:

依据:继而是比较方法: 作差法与作商法

作差法和作商法是我们比较两个实数大小常用的方法,也称之为:比较法;

使用步骤如下:

作差法:作差→变形→判断差的符号→结论

作商法:作商→变形→判断商与1的大小→结论

关键点说明:

1、作差法关键是“变形”,向以下方面转化:

因式分解→配成完全平方式→凑成恒正或恒负的代数式

2、作商法关键是“商与1的大小”:

若A/B>1,且B>0,则A>B; 若A/B>1,且B>0,则A>B;

不等式的性质

不等式的性质是我们整理换算的依据,附以四则运算的优先法则,数学计算有保障;

不等式的解法

关于不等式的解法,这里要对不等式进行分类:一元一次不等式,一元二次不等式,一元高次不等式,分式不等式,含绝对值不等式,根式不等式(无理不等式);在求解过程中,我们依据不等式特征,有选择性的挑选解题方法,辅以恰当的解题技巧事半功倍。

★ 一元一次不等式的解法:

@定义

@解题步骤

@思想方法

@一元一次不等式解的表示

@一元一次不等式组解的表示

★ 一元二次不等式的解法:

要解一元二次不等式需要搞清楚三个二次之间的关系,一元二次方程,一元二次不等式,二次函数,请看下面列表:

通过3个二次之间的关系,我们求解一元二次不等式可以汇编为三个字:解-画-写;

——解不等式对应的方程的根;

——画不等式对应的函数的图像;

——通过图像结合不等式要求,写出不等式的解集;

当然解不等式方程的时候,要连接一元二次方程根与系数关系也即:韦达定理。

★ 一元高次不等式的解法:

一元高次不等式的解法——穿针引线法(一种叫法)

步骤:化正——求根变形——标轴,穿线(奇过偶不过)——定解(写解集)

穿针引线法(序轴标根法)(高次不等式:数轴穿根法: 奇穿,偶不穿)解题方法:数轴标根法。

解题步骤: (1)首项系数化为“正”

(2)移项通分,不等号右侧化为“0”

(3)因式分解,化为几个一次因式积的形式

(4)数轴标根。

例:求解不等式

解法:

①将不等式化为

形式,并将各因式中的x系数化“ ”(为了统一方便)

②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来;

③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点。(即从右向左、从上往下:看的次数:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过)。注意:奇穿偶不穿。

④若不等式(x前系数系数化“ ”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间:

注意:“≤或≥”标根时,分子实心,分母空心。

★ 分式不等式的解法:

@分式不等式的形式

@解题步骤

【范例】

所以不等式的解集为:(﹣∞,﹣2)∪[﹣1,2)∪[6, ∞)。

★ 含绝对值不等式的解法:

@绝对值的几何含义

@最简单的绝对值不等式

@绝对值不等式的解法

【范例】

@绝对值三角不等式

关于不等式的解法,以上是分类别,最后归为一句话:

核心是同解变形,方法是分式化整式,高次化一次,无理化有理

不等式的证明

不等式的证明是不等式章节中重要环节,这里方法多式多样,主要归结为:比较法、判别式法、综合法、分析法、反正法、放缩法等

@比较法:

1、求差法

★ 欲证A>B,只需证A-B>0即可;

步骤:作差——变形——判断符号

变形:变为因式的积或者平方和的形式。

2、求商法

★ 欲证A>B(B>0),只需证A/B>1即可;

步骤:作商——变形——判断商与1的大小

适用范围:适用于式子两端为乘积或幂、指数的形式。

3、求平方差法

顾名思义,大家参考前面的作差与作商法来进行展开。

@综合法:

从已知出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出要证的不等式。

@分析法——放缩法:

从需证的不等式出发,寻找这个不等式成立的充分条件,逐步转化到已知条件或者明显的事实。

@反证法:

从需证的不等式的反面出发,依据题干已知条件,通过转化,最终找到与已知条件矛盾或者对立的事实,进而推出假设不成立,原命题得证。

以上式关于不等式的证明的一些见解,证明不等式常用基本不等式以及常用的放缩技巧且听其他专题讲解。

不等式学法误区

关于不等式的学习过程中容易产生的错误提醒如下:

第一、不等式的性质具有可逆性,常常把握不准;

第二、同解变形中,出现增根,减根的情况导致错误;

第三、解含有参数问题的时候,分类讨论标准不准确,有遗漏;

以上就是大黄对不等式的概念、性质以及解法,知识框架、学法指导、误区的讲解,全在这儿,以飨读者。

同时欢迎大家评论区发表自己的见解,一切都是为了孩子的学习。

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