海韵教育数学科普 小学六年级我们就学习了圆锥的体积公式，大家都知道圆锥的体积是等底等高圆柱体积的1/3那为什么等于圆柱体积的1/3呢？几乎所有版本的小学数学教材都是利用演示的方法来说明的即老师拿着透明的等底等高的圆。
小学六年级我们就学习了圆锥的体积公式，大家都知道圆锥的体积是等底等高圆柱体积的1/3。那为什么等于圆柱体积的1/3呢？几乎所有版本的小学数学教材都是利用演示的方法来说明的。即老师拿着透明的等底等高的圆柱和圆锥，圆锥盛水（或沙子），装满往圆柱倒三次，圆柱满了，就说明两者体积有3倍关系。
当然教材这样编排的目的是基于小学生的学科认知基础来处理的，但在实际教学中，你会发现，越来越多的孩子并不满足这种解释的，他们总会打破砂锅问到底，而这个问题的解释包含了朴素的微积分思想和祖暅原理。作为教师来说，我们有必要给孩子进行一个数学科普，让他们懂得其中的原理，这无疑会培养孩子们进一步学习和研究数学的热情。
一、先谈谈圆的面积推导
推导圆的面积时，我们把圆等分成若干个“圆三角形”，再拼成一个近似的平行四边形。分成的小三角形越多，拼成的图形越接近矩形。再对比两者的关系，利用长方形的面积公式推导出圆的面积公式，这就是“化曲为直”的思想，而切拼的过程其实是利用微积分的思想。
圆的面积=圆周长的一半×半径=πr×r=πr²（如图所示）
二、再说说圆锥体积公式的由来
那么圆锥的体积为何和圆的面积扯上关系了，这里主要用到的是圆面积推导的方法“化曲为直”来解释的。还是一样的道理，首先把等底等高的圆柱和圆锥如图细分，分得足够细，化曲为直，于是分出的每一小片就是一个三棱柱和对应的三棱锥。
接下来我们要研究的就是等底等高的三棱柱和三棱锥之间的关系了。
这里先说一个结论，就是等底等高的三棱锥体积相等，这需要先来说一个原理，祖暅原理。
祖暅（ɡènɡ），亦名祖暅之，是我国著名数学家祖冲之（公元429—500）的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年。是南朝齐梁间数学家，曾任太府卿。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出贡献。
祖暅在修补编辑祖冲之的《缀术》时，提出了著名的祖暅原理，并巧妙地推导出球体积公式。
祖暅原理也称祖式原理，一个涉及几何求积的著名命题，公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”。
祖暅原理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。”
如下图：完全相同且数目一样的两堆书叠成两摞，一摞竖直叠，一摞斜着叠，（分别对应一个直棱柱和一个斜棱柱）用平行于底面的截面截这两个棱柱，截得的截面面积是处处相等的，而它们的体积显然是相等的，这是祖暅原理的直观体现。
由祖暅原理知底面积相等的如下三个柱体的体积都相等：
所以下图中，等底等高的两个三棱锥，由于相似关系，同一高度的截面积相等，于是由祖暅原理可知，等底等高的两个三棱锥，体积相等。
不过锥体（棱锥、圆锥及不规则锥体）的体积，却不能直接按上述方法定义。我们可以回想小学时推导三角形的面积公式：两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形，从而三角形的面积是：
我们可以效仿这种思维，不难证明：三棱锥的体积等于等底等高三棱柱体积的1/3，如下图：
三棱柱ABC－A'B'C'的底面积（即△ABC的面积）为s,高（即点A'到平面ABC的距离）为h，则它的体积为sh，沿平面A'BC和平面A'B'C，将这个三棱柱分割为3个三棱锥，其中三棱锥1，2的底面积相等（S△A'AB=S△A'B'B），高也相等（点C到平面ABB'A'的距离）；三棱锥2，3也有相等的底面积（S△B'BC=S△B'C'C）和相等的高（点A'到平面BCC'B'的距离）。因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三锥的体积等于等底等高三棱柱体积的1/3。
这样进一步推广，不光是棱锥体，圆锥也一样。只要是锥体，等底等高的锥体体积都相等。这样很容易由等积关系看出，所有锥体的体积都等于与它等底等高柱体体积的1/3。
最后，回到最初圆柱圆锥的分割图上，由于圆柱分割成许多近似的小三棱柱，圆锥分割成对应的许多小三棱锥，每一小块小三棱锥的体积都是对应小三棱柱体积的三分之一，因此最终的圆锥体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。这个中学生可以完全理解，小学生理解力好的其实也能理解。
好了，最后希望这些内容可以帮助我们的孩子提高数学学习的兴趣和热情，更多的数学问题，大家可以在下方留言，我们一起来研究吧！
